11. 2項分布による分析

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10章まで扱ってきたもの

連続的な値を取るデータ

計量データが従う分布

本章と次章

数を数えるデータ

計数データが従う分布

11.1. 場合の数

場合の数の問題

5人の子供が並ぶとき、並び順はいくつかるか

$ n! = n \times (n-1) \times \cdots \times 1

赤い饅頭が3個、黒い饅頭が2個ある。順番に食べるとき、食べ方は何通りあるか

$ \frac{5!}{3!\times2!} = 10 \qquad (11.1)

$ \frac{n!}{x! \times y!} = \frac{n!}{x! \times (n-x)!} \qquad (11.2)

血液型がA型, B型, O型, AB型の人が、それぞれ4人, 3人, 2人, 1人、合計で10人いる。血液型の並び順は何通りあるか

$ \frac{10!}{4! \times 3! \times 2! \times 1!} = 126000 \qquad (11.3)

以上を一般化する

このときお菓子の並べ方は(11.2)式左辺を拡張して

$ \frac{n!}{x_1! \times \cdots \times x_k!}, \quad ただしn = x_1 + \cdots x_k \qquad (11.4)

11.2 離散分布

本説では理論分布としてベルヌイ分布・2項分布を説明して、カテゴリカルなデータの分析に備える

これらの分布は事前分布としてではなく、データ生成分布(尤度を構成する分布)として利用する

11.2.1. ベルヌイ分布

ここでは当該の選手のフリースロー成功確率

結果が2値で、確率が一定である試行

ベルヌイ試行の1回の結果は以下の確率分布で表現する

$ f(x|p) = p^x(1-p)^{1-x}, \quad x = 0, 1 \qquad (11.5)

$ f(x=1|p) = p^1(1-p)^0 = p \qquad (11.6)

$ f(x=0|p) = p^0(1-p)^1 = 1 - p \qquad (11.7)

この確率分布はベルヌイ試行の成功と失敗の確率を与えている

11.2.2. 2項分布

複数回のフリースローの成否は互いに影響しない(独立である)とすると、フリースローを3回試みて2回成功する確率はどの程度だろうか

たとえば、(成功・失敗・成功)がこの順番に確立される確率

$ f(x=1|p) \times f(x=0|p) \times f(x=1|p) = p \times (1-p) \times p = p^2(1-p)^{3-2} \qquad (11.8)

しかし、2回成功するケースは(成功・失敗・成功)と(成功・成功・失敗)と(失敗・成功・成功)の3ケース

$ p \times (1-p) \times p + p \times p \times (1-p) + (1-p) \times p \times p = 3 \times p^2(1-p)^{3-2} \qquad (11.9)

成功を赤い饅頭、失敗を黒い饅頭だと考えれば、成功と失敗の並び順が何通りあるかは、(11.2)式右辺で計算できる

(11.9)式の係数は

$ \frac{n!}{x! \times (n-x)!} = \frac{3!}{2!\times1!} = 3 \qquad (11.10)

となり、一致することが確認できる

$ f(x|p) = \frac{n!}{x! \times (n-x)!}p^x(1-p)^{n-x}, \quad x=0,1,\cdots,n \qquad (11.11)

2項分布の平均と標準偏差はそれぞれ以下であることが知られている

$ n \times p \qquad (11.12)

$ \sqrt{n \times p \times (1-p)} \qquad (11.13)

11.3. 比率の推測(1つの2項分布)

餡の選好問題

つぶ餡とこし餡のどちらが好きかを調べた

500人中305人がつぶ餡が好きだと回答し、195人がこし餡が好きと回答した

つぶ餡好きの比率の方が大きいといってよいか

したがって(2.12式)に相当する尤度は(11.11)式となる

$ p \sim U(0, 1) \qquad (11.14)

(2.15)式に相当する事後分布

$ f(p|x) \propto f(x|p)f(p)

MCMC法を利用し、母数の事後分布・生成量の事後分布・予測分布に従う乱数を生成することが可能

table: 表11-1 比率の事後分布と予測分布の数値要約

EAP post.sd 2.5% 5% 50% 95% 97.5%

p 0.610 0.022 0.567 0.574 0.610 0.645 0.652

EAP sd 2.5% 5% 50% 95% 97.5%

x^* 305 15.4 274 279 305 330 335

ただし、事後予測分布であるから小カッコの中は標準偏差

11.3.1. オッズ

$ odds = \frac{p}{1-p} \qquad (11.16)

したがって、オッズは確率の別表現

これはAが勝つと予想している人がBが勝つと予想している人の1/4ということ

オッズは賭けに勝った人の払い戻し倍率の逆数

オッズの事後分布は以下の式で近似される

$ odds^{(t)} = \frac{p^{(t)}}{1-p^{(t)}} \qquad (11.17)

「餡の選好問題」のオッズの事後分布の数値要約

table: 表11-2 「餡の選好問題」のオッズの事後分布の数値要約

EAP post.sd 2.5% 5% 50% 95% 97.5%

odds 1.57 0.14 1.31 1.35 1.56 1.82 1.87

11.3.2. 研究仮説が正しい確率

それぞれ以下の生成量のEAPで評価できる

$ \begin{aligned} u_{c<p}^{(t)} & = \begin{cases} 1 & c < p^{(t)} \\ 0 & それ以外の場合 \end{cases}, \quad u_{c<x^*}^{(t)} = \begin{cases} 1 & c < x^{*(t)} \\ 0 & それ以外の場合 \end{cases}, \\ u_{c<odds}^{(t)} & = \begin{cases} 1 & c < odds^{(t)} \\ 0 & それ以外の場合 \end{cases} \qquad (11.18) \end{aligned}

11.4. 2×2のクロス表の推測(2つの2項分布の積)

2つの独立した2項分布の積として尤度が表現される2×2のクロス表の分析法を学ぶ

ブランド認知問題1

ファッションブランドAを知っているか否か(認知、非認知)を男女別に集計した

table: 表11-3 ブランド認知率調査の結果(人数)

知っている 知らない 合計

女性 85 38 123

男性 31 90 121

母比率(認知率)の推測をしなさい

$ f(\bm x|\bm\theta) = f(x_1, x_2|p_1, p_2) = f(x_1|p_1) \times f(x_2|p_2) \qquad (11.19)

$ f(\bm\theta) = f(p_1) \times f(p_2) \qquad (11.20)

(2.15)式に相当する事後分布

$ f(\bm\theta|\bm x) \propto f(\bm x|\bm\theta)f(\bm\theta) \qquad (11.21)

MCMCで母数や生成量の事後分布を近似する

11.4.1. 比率の差・比率の比・オッズ比

独立した2×2のクロス表を分析する際に有効な生成量を3つ挙げる

1つは、2つの集団の正反応の比率の差

$ p_1 - p_2 \qquad (11.22)

先の例では女性と男性の認知率の差

差を考察することによって2つの集団の性質の違いを考察する

比率の差は直感的にわかりやすく重要な指標

ただし、比率の差だけでは2つの集団の違いを考察するには不十分

両者は差という観点からは同じだが、かなり状況は異なる

比率の比

$ p_1/p_2 \qquad (11.23)

$ \frac{p_1/(1-p_1)}{p_2/(1-p_2)} = p_1(1-p_2)/p_2(1-p_1) \qquad (11.24)

オッズ比は「正反応は他方の反応の何倍生じやすいかの比」である

これらは生成量

$ p_1^{(t)} - p_2^{(t)}, \quad p_1^{(t)}/p_2^{(t)}, \quad p_1^{(t)}(1-p_2^{(t)})/p_2^{(t)}(1-p_1^{(t)}) \qquad (11.25)

によってそれぞれの事後分布を近似できる

table: 表11-4 「ブランド認知問題1」の母数と生成量の事後分布

EAP post.sd 2.5% 5% 50% 95% 97.5%

p_1 0.688 0.041 0.604 0.618 0.689 0.754 0.766

p_2 0.260 0.039 0.187 0.198 0.259 0.327 0.341

比率の差 0.428 0.057 0.313 0.332 0.429 0.520 0.536

比率の比 2.707 0.458 1.961 2.054 2.655 3.536 3.748

odds_1 2.263 0.447 1.528 1.620 2.215 3.068 3.271

odds_2 0.356 0.073 0.230 0.245 0.350 0.486 0.517

オッズ比 6.641 1.945 3.687 4.018 6.357 10.228 11.221

「ブランド認知問題1」の母数の事後分布

「ブランド認知問題1」の生成量の事後分布

(11.18)式に準じた生成量を構成し、研究仮説が正しい確率を計算することができる

11.5. g×2のクロス表の推測(g個の2項分布の積)

お年玉問題

今年の正月にお年玉をもらったか否かを、高校生・大学生(前, 19歳以下)・大学生(後, 20歳以上)・社会人(25歳以下)別に集計した

table: 表11-5 お年玉があったか否か (人数)

あり なし 計

高校生 42 9 51

大学生(前) 31 18 49

大学生(後) 29 21 50

社会人 20 28 48

母比率の推測・比較をしなさい

$ f(\bm x|\bm\theta) = f(x_1, \cdots, x_g|p_1, \cdots, p_g) = f(x_1|p_1) \times \cdots f(x_g|p_g) \qquad (11.26)

$ f(\bm\theta) = f(p_1) \times \cdots \times f(p_g) \qquad (11.27)

(2.15)式に相当する事後分布

$ f(\bm\theta|\bm x) \propto f(\bm x|\bm\theta)f(\bm \theta) \qquad (11.28)

MCMC法で母数の事後分布を近似する

table: 表11-6 「お年玉問題」の母数の事後分布

EAP post.sd 2.5% 5% 50% 95% 97.5%

p_1 高校生 0.811 0.053 0.696 0.717 0.815 0.892 0.904

p_2 大学生(前) 0.627 0.067 0.491 0.514 0.629 0.735 0.754

p_3 大学生(後) 0.577 0.068 0.441 0.463 0.578 0.687 0.707

p_4 社会人 0.420 0.069 0.288 0.308 0.419 0.536 0.558

table: 表11-7 行iのカテゴリが列jのカテゴリより比率が大きい確率

p_1 p_2 p_3 p_4

p_1 高校生 0.000 0.983 0.996 1.000

p_2 大学生(前) 0.017 0.000 0.701 0.983

p_3 大学生(後) 0.004 0.299 0.000 0.945

p_4 社会人 0.000 0.017 0.055 0.000

11.5.1. 連言命題が正しい確率

表11-7の確率は、2つのカテゴリの大小比較の確率としては、そのまま解釈可能

ただし複数の比較が同時に成り立つ確率とは異なる

研究上の問い「お年玉をもらえる比率は年代とともに下降する」が正しい確率を求める

$ u_{p_4<p_3}^{(t)} \times u_{p_3<p_2}^{(t)} \times u_{p_2<p_1}^{(t)} \qquad (11.29)

のEAPが求めたい確率となる

少し条件を緩めて研究上の問い「お年玉をもらえる比率は年代とともに下降するが、大学生は成人しているか否かは問わない」が正しい確率を求める

$ u_{p_4<p_3}^{(t)} \times u_{p_4<p_2}^{(t)} \times u_{p_2<p_1}^{(t)} \times u_{p_3<p_1}^{(t)} \qquad (11.30)

のEAPが求めたい確率となる

「高校生はどの年代よりもお年玉をもらえる比率が高い」が正しい確率を求める

$ u_{p_2<p_1}^{(t)} \times u_{p_3<p_1}^{(t)} \times u_{p_4<p_1}^{(t)} \qquad (11.31)

のEAPが求めたい確率となる

「社会人はどの年代よりもお年玉をもらえる比率が低い」が正しい確率を求める

$ u_{p_4<p_1}^{(t)} \times u_{p_4<p_2}^{(t)} \times u_{p_4<p_3}^{(t)} \qquad (11.32)

のEAPが求めたい確率となる

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